Innehåll

• vägbeskrivning
• tips
• varning

Definitionen av epsilon-delta är en demonstration som eleverna lär sig i det första året av kalkylklasser. Denna definition är ett klassiskt sätt att visa att en funktion närmar sig ett specifikt tröskelvärde som en oberoende variabel närmar sig ett givet värde. Epsilon och delta är respektive den fjärde och femte bokstaven i det grekiska alfabetet. Dessa bokstäver används traditionellt i beräkningen av gränser och används också i demonstrationsprocesser.

vägbeskrivning

Epsilon-delta-definitionen används för att lösa gränsvärden. (Jupiterimages / Photos.com / Getty Images)

1. Man bör börja med att arbeta med den formella gränsdefinitionen. Denna definition säger att "gränsen för f (x) är L, när x närmar sig k, om för varje epsilon större än noll finns ett motsvarande delta, större än noll, så att när värdet absolut av skillnaden mellan x och k är mindre än delta, kommer absolutvärdet av skillnaden mellan f (x) och L att vara mindre än epsilon. "Informellt betyder detta att gränsen för f (x) är L när x närmar sig k, om det är möjligt att göra f (x) så nära L som önskat, genom att närma sig x till k. För att utföra epsilon-delta demonstrationen måste det visas att det är möjligt att definiera delta i form av epsilon, för en given funktion och gränsen.

   
   

2. Manipulera uttalandet "| f (x) - L | är mindre än epsilon" tills du får | x - k | mindre än något värde. Tänk på detta "något värde" för att vara deltaet. Kom ihåg den formella definitionen och den centrala idén, som säger att det är nödvändigt att visa att för varje epsilon finns ett delta där man etablerar en relation som gör definitionen sann. Av detta skäl är det nödvändigt att definiera delta i form av epsilon.

3. Observera följande flera exempel för att tänka på hur definitionen fortsätter. Till exempel för att bevisa att gränsen på 3x-1 är 2, när x närmar sig 1, anser vi att k = 1, L = 2 och f (x) = 3x-1. För att vara säker på att | f (x) - L | är mindre än epsilon, gör | (3x - 1) - 2 | lägre än epsilon. Detta betyder att | 3x - 3 | är mindre än epsilonet, så 3 | x - 1 | är också, eller || x - 1 | är mindre än epsilon / 3. Med tanke på att delta = epsilon / 3, | f (x) - L | kommer att vara mindre än epsilon närhelst | x - k | är mindre än delta.

   
   

tips

• Den centrala delen av beviset är att omvandla f (x) - L till x - k. Om du håller detta mål i åtanke kommer resten av demonstrationen att ske perfekt.

varning

• I vissa situationer kan gränsen för en funktion indikera att f (x) tenderar att vara oändligt när x tenderar att vara oändligt. Definitionen av epsilon-delta fungerar inte i dessa fall; I dessa situationer kan en liknande demonstration göras genom att välja två stora tal, M och N, och visa att f (x) kan överstiga M genom att orsaka x att överskrida N och M kan vara så stor som önskad.