Innehåll

• Formel för beräkning av området av en oktagon
• härledning
• Formel för beräkning av oktahedronens volym
• härledning
• Yta

I geometri är en oktagon en åtta sidig polygon. En vanlig oktagon har åtta lika sidor och lika vinklar. Det är allmänt känt av stoppskyltar. En oktaedron är en åtta-sidig polyeder och en vanlig oktaedron har åtta trekanter med lika långa kanter, det vill säga två fyrkantiga pyramider som möts vid sina baser.

Formel för beräkning av området av en oktagon

Formeln för att beräkna arean med en vanlig oktagon med sidor av längd "a" är: 2 x (1 + rot (2)) x a², där "root" betecknar kvadratroten.

härledning

En oktagon kan ses som fyra rektanglar, en fyrkant i mitten och fyra isosceles trianglar i hörnen.

Torget har ett område av "a²".

Trianglarna har sidor "a", a / root (2) och a / root (2), enligt Pythagoreas teorem. Därför har var och en ett område av ^ ^ 4.

Rektanglarna har ett område med en x a / root (2).

Summan av dessa nio områden är 2a² (1 + rot (2)).

Formel för beräkning av oktahedronens volym

Formeln för volymen av en vanlig oktaedron av sidorna "a" är a³ x root (2) / 3.

härledning

Området med en fyrsidig pyramid är: bas x höjd / 3. Området med en vanlig oktagon är därför 2 x bas x höjd / 3.

Bas = a².

Välj två intilliggande hörn, ring "F" och "C". "O" är centrumet. FOC är en rätt isosceles triangel med basen "a", så att OC och OF har längd a / root (2) av Pythagoreas teorem. Således höjd = a / root (2).

Därför är volymen av en vanlig oktaedron 2 x (a²) x a / root (2) / 3 = a³ x root (2) / 3.

Yta

Ytan på den vanliga oktaedronen är ytan av en liksidig triangel av sidan "a" gånger dess åtta ansikten.

För att använda Pythagoreas teorem, gör en linje från toppunktet till basen. Detta skapar två trianglar, med hypotenus av längd "a" och längd på ena sidan "a / 2." Därför måste den tredje sidan vara root [a² - a ^ 2/4] = root (3) a / 2. Sålunda är arean av en liksidig triangel höjd x bas / 2 = rot (3) a / 2 x a / 2 = rot (3) a ^ 2/4.

Med åtta sidor är ytan på en vanlig oktaedron 2 x root (3) a².